A lei de Benford

Muitos conjuntos de dados apresentam uma propriedade interessante: os primeiros dígitos não aparecem todos com a mesma freqüência.

A lei de Benford prevê que os dígitos mais baixos apareçam com maior freqüência.

Esta lei funciona especialmente bem com números que crescem exponencialmente como preços e salários. O crescimento exponencial torna os dígitos mais altos mais raros, porque eles somem rapidamente. Se um produto tem um preço inicial 100, ele vai ficar valendo entre 100 e 199 o dobro do tempo que ficará valendo entre 200 e 299. Isto porque a inflação e os juros são cumulativos e, portanto, crescem exponencialmente.

Então, armado com este novo conhecimento, decidi avaliar minha base de preços.

select
 substr(preco, 1, 1),
 trunc((count(1)/29528)*100,2)
from produtos
group by substr(preco, 1, 1)
order by 2 desc

Em primeiro lugar, contei os registros para simplificar a consulta e fazer o cálculo mais rapidamente. Já dá para deduzir que tenho 29.528 registros. Os dados são do mundo real; eu não gerei números aleatoriamente.

A tabela abaixo mostra a distribuição dos primeiros dígitos:

Dígito	F	Fe
1	33,65%	30,1%
2	17,49%	17,6%
3	12,93%	12,5%
4	9,49%	9,7%
5	8,71%	7,9%
6	6,26%	6,7%
7	4,83%	5,8%
8	3,9%	5,1%
9	2,7%	4,6%

F é a freqüência encontrada e F_e é a freqüência esperada. Como se pode ver, a previsão chegou muito perto da realidade.

Essa lei, além de ser curiosa, é útil para apontar dados problemáticos na contabilidade forense. Distribuições muito estranhas podem colocar em evidência tentativas de esconder maracutaias financeiras.