quarta-feira, 11 de setembro de 2019

Multiplicação Russa e suas Consequências

A multiplicação russa é interessante porque funciona muito bem na base 2.

A idéia é simples:
  • Crie uma coluna para cada número (maior à esquerda, menor à direita);
  • Divida o número maior por dois até chegar a 1;
  • Multiplique o número menor por dois o mesmo número de vezes;
  • Descarte as linhas em que o número da esquerda for par;
  • Some os números que restavam à direita.
Por exemplo, 3 * 18:

18   3
 9   6
 4  12
 2  24
 1  48

Resultado= 6+48=54


Ela fica mais divertida em base 2:

00010010 00000011
00001001 00000110
00000100 00001100
00000010 00011000
00000001 00110000    

Resultado = 00000110+00110000= 110110


Ou seja, basta ir fazendo shifts.

Uma otimização óbvia é pegar a maior potência de dois para dividir o problema. As multiplicações por potências de dois sempre acabam com apenas uma linha sendo considerada: a maior do lado direito (porque todos os números do lado esquerdo são pares, exceto a última).

8  3
4  6
2 12
1 24

A resposta é 24. nenhuma soma é precisa, porque 8*3=3*2*2*2


E se eu repetir esse processo de sempre pegar a maior potência? Nesse caso, vou poder descrever sucintamente o processo como: para multiplicar m por n, percorro os bits de m e, para cada bit 1, adiciono n deslocado à esquerda pela posição desse bit.

Sucintamente, em Perl (devia ser assembly!), seria algo assim:

#!/usr/bin/perl
use strict;
use warnings;
use integer;

my $n=$ARGV[0];
my $m=$ARGV[1];
my $p=0;
my $total=0;

do {
  $total+=$m<<$p if $n&1;
  $p++;
} while ($n>>=1);

print $total;


Ou seja, se quero multiplicar 46 por 5, como cinco é 101, executo 46<<2 + 46<<0 (46*4+46*1 para os binário-deficientes). A respostá é óbvia, dado que 46*5=46*(4+1).

Uma solução alternativa um pouco mais elegante é essa função recursiva:

#!/usr/bin/perl
use strict;
use warnings;
use integer;

my $n=$ARGV[0];
my $m=$ARGV[1];

sub mult {
  my ($n, $m)=@_;
  
  return $m if $n==1;
  
  my $d=0;
  
  $d=$m if $n&1;
  return $d + mult($n>>1, $m<<1);
}

print mult($n, $m);

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