A Melhor Base

Suponha que queiras montar um placar eletrônico para uma quadra de basquetebol. As pontuações costumam rondar uma centena; geralmente abaixo, frequentemente acima. Então, são necessários, pelo menos, 3 dígitos decimais. Para cada dígito, são necessárias 10 placas (de 0 a 9). Ao todo são 30 placas.

O que muda se usarmos outras bases? A conta é simples:

Número n de dígitos na base b = log(1000)/log(b)
Total de placas = b*n

Para as bases até 10, os resultados são:

2       19.9315685693242
3       18.8631294686045
4       19.9315685693242
5       21.4601483711009
6       23.1317497608924
7       24.8491879115537
8       26.5754247590989
9       28.2946942029067
10      30

A base 3 é a campeã. Seriam necessárias 19 placas para exibir todas as 1000 possibilidades de 0 a 999.

O valor de 999 em base 3 é 1101000. São 7 dígitos. Como não vamos passar de 999, se tivermos 7 dígitos, o mais significativo só pode ser 1. Então, 6*3 placas garantiriam todas as possibilidades dos 6 primeiros dígitos e uma placa adicional resolveria o sétimo.