Um pintor pinta um quarto em 3h e o outro completa o serviço em 5h. Quanto tempo os dois juntos levam para pintar o quarto?
A gente poderia calcular o progresso por unidade de tempo, mas é melhor trabalhar com inteiros até onde der. Então, precisamos de um valor que os dois dividam. O mais óbvio é 3*5=15
Nesse tempo, o primeiro pinta 5 quartos (15/3) e o segundo pinta 3 quartos. Portanto, o tempo para os dois juntos pintarem um quarto será 15/(3+5): um pouco menos de 2h.
Os números 3 e 5 são primos, então o MMC deles só pode ser 3*5. Se os tempos forem 4 e 8, podemos usar 8 e a conta será 8/(1+0,5) ou 16/3.
Se usarmos 4 e 6, o MMC será 12 e a conta será 12/(3+2)=12/5.
O legal desse problema é que podemos usar qualquer quantidade de pintores. Se tivermos dois pintores lentos que levam 5h e um apressadinho que leva 3, a conta será 15/(5+3+3)=15/11.
Qual terá sido a contribuição de cada um?
Para calcular a contribução de cada um, basta multiplicar o recíproco do tempo de cada pintor pelo tempo total do serviço. Então, nosso amigo que leva 3h, terá contribuído com 15/8 * 1/3 = 15/24. O colega folgado contribuirá com 15/8*5 = 15/40. Com base nisso, podemos dividir o pagamento.
O MMC de 24 e 40 é 120 e então podemos confirmar que 15*5 + 15*3 = 120 e a nossa conta fecha 100%.
A conta fecha também com os três pintores: (15/(13*5))+(15/(13*3))+(15/(13*3))=5/13+3/13+3/13=1.
Se usarmos 3, 5, e 7, o produto será 105 e a soma 71 (105/3 + 105/5 + 105/7). É preciso ter cuidado para não esquecer que a soma é das divisões dos produtos por cada tempo, não os tempos em si.
Outra forma de ver a conta, é que é a soma dos produtos 2 a 2 (no caso de termos 3 pintores. Ou seja: 3*5 + 3*7 + 5*7.
Claro que só posso pensar numa solução n a n se o nominador for o produto de todos os tempos. Por exemplo, com os tempos 3, 5, e 5, seria preciso usar 3*5*5 para então calcular o denominador com 3*5 + 3*5 + 5*5. Note que 75/55=15/11. Usar o 15 seria um equivoco. Então o mais fácil é não misturar a combinatórica com o MMC. Use um ou outro, conforme o gosto pessoal.
Acho que basta deste assunto. Os pintores nunca vêm no horário combinado mesmo.
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