A Melhor Base II

Após verificar que a base 3 é a base mais econômica dentre as bases tradicionais, resolvi experimentar algumas representações diferentes: a base fatorádica e os numerais romanos.

O problema é encontrar o menor número de placas para representar todos os números de 0 a 999.

#!/usr/bin/perl
use Roman;
use Data::Dumper;
use strict;

my %symbols=();

for my $b (0..999) {
  my %s=();
  my $r=factoradic($b);
  print "$r\n";
  my @s=split(//,$r);
  for my $s (@s) {
    $s{$s}++;
    if ($symbols{$s}<$s{$s}) {
      $symbols{$s}=$s{$s};
    }
  }
}

for my $d (keys %symbols) {
  print "$d => $symbols{$d}\n";
}

sub factoradic {
  use integer;
  my $n=shift;
  my $f='';
  my $i=1;
  do {
    $f=($n%$i).$f;
    $n/=$i;
    $i++;
  } while($n>0);
  
  return $f;
}

Para os numerais romanos, encontrei um módulo pronto no CPAN. Não tive tanta sorte com a base fatorádica, mas é muito fácil converter.

Os numerais romanos surpreenderam: são bastante mais econômicos e necessitam apenas 15 placas (mais uma para o zero). Já a fatorádica, requer 22 placas e fica, portanto, entre as bases 5 e 6 no ranking geral.

As placas necessárias seriam: I (3), V (1), X (4), L (1), C (4), D (1), M (1). Para o zero, a melhor opção seria N (de nulla ou nihil).

A Melhor Base

Suponha que queiras montar um placar eletrônico para uma quadra de basquetebol. As pontuações costumam rondar uma centena; geralmente abaixo, frequentemente acima. Então, são necessários, pelo menos, 3 dígitos decimais. Para cada dígito, são necessárias 10 placas (de 0 a 9). Ao todo são 30 placas.

O que muda se usarmos outras bases? A conta é simples:

Número n de dígitos na base b = log(1000)/log(b)
Total de placas = b*n

Para as bases até 10, os resultados são:

2       19.9315685693242
3       18.8631294686045
4       19.9315685693242
5       21.4601483711009
6       23.1317497608924
7       24.8491879115537
8       26.5754247590989
9       28.2946942029067
10      30

A base 3 é a campeã. Seriam necessárias 19 placas para exibir todas as 1000 possibilidades de 0 a 999.

O valor de 999 em base 3 é 1101000. São 7 dígitos. Como não vamos passar de 999, se tivermos 7 dígitos, o mais significativo só pode ser 1. Então, 6*3 placas garantiriam todas as possibilidades dos 6 primeiros dígitos e uma placa adicional resolveria o sétimo.