segunda-feira, 3 de abril de 2017

Cobertura dos n primeiros primos II

Quando calculei a porcentagem de números inteiros que possuem fatores dentre os n primeiros primos, procurei calcular diretamente o valor. Deixei escapar uma maneira muito mais simples que é a de calcular quantos números não são cobertos pelos n primeiros primos.

Esse cálculo é mais simples. Calcular da maneira mais complexa me ensinou algumas coisas, mas a solução mais simples também vale a pena.

Os números que não são múltiplos de 2 são 1/2 do total. Os que não são múltiplos de 3 são 2/3 do total. Os que não são múltiplos de 5 são 4/5. E assim por diante.

Os que não são múltiplos de 2, 3, ou 5, são (1-1/2)(1-1/3)(1-1/5) do total. É muito mais simples a conta.

Em menos de 1s, um programa calculou que os primeiros 10.000 primos fazem parte de 95,14% de todos os inteiros. O programa original não consegue chegar a n=13 nesse tempo. Os primeiros 100.008 ajudam a quebrar a barreira dos 96%, mas o primeiro milhão não chega a 97% (96,6%).

O gráfico abaixo mostra o resultado dessas contas. Ele mostra, em escala, logarítmica, quantos inteiros não têm um fator dentre os primeiros n primos.



O código é tão insosso quanto o gráfico, então não vou publicá-lo.

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