A soma dos números ímpares gera quadrados perfeitos: 1=1*1, 1+3=2*2, 1+3+5=3*3, 1+3+5+9=4*4, e assim por diante.
Além disso, todo número ímpar pode ser representado como a diferença entre dois quadrados (embora nem todas as diferenças de quadrados resultem num número ímpar).
Então, 16-1=15 ou 9-4=5, ou 25-16=9.
Fermat usou essa propriedade para fatorar inteiros. Dado um inteiro N ímpar, começamos pela raíz quadrada (a) e vamos procurando um valor b tal que a*a-N=b*b.
Dado que a soma da sequência de inteiros ímpares produz um quadrado perfeito, podemos usar isso para encontrar b.
Então, com 15, fazemos assim: 15+1=16. Essa é fácil: 16 é quadrado e 1 também. Isso nos dá que 15=(4-1)(4+1).
Vamos usar 39 como um exemplo mais difícil. 39+1+3+5+7+9=64 e (8-5)(8+5)=3*13=39.
Então encontramos soluções do tipo (b-c)(b+c) e c é o número de ímpares na sequência que somamos ao número que estamos tentando fatorar. No caso do número 39, acabamos passando por 49 e isso serviu para demonstrar como é mais fácil fatorar um número quando a solução está perto da raíz quadrada. Quanto mais longe (isto é, quanto mais distantes estiverem os fatores), mais difícil vai ser encontrar a solução.
