Bayes para Totós

Não achei nenhum texto satisfatório sobre Bayes, então resolvi fazer as contas para entender. Escrevi os resultados para a eventualidade de ser útil para alguém.

Comecei com o problema dos potes com biscoitos:

1. O pote P1 tem 30 biscoitos de baunilha (b) e 10 de chocolate (c);
2. O pote P2 tem 20 biscoitos de baunilha e 20 de chocolate.

Se eu tirar um biscoito de baunilha, qual a probabilidade de que seja do pote 1?

Bayes nos diz que P(P1|b)=[P(P1)P(b|P1)]/P(b).

Fiz todas as contas possíveis para entender o que isso quer dizer e cheguei a esses passos:

1. P(P1) é a probabilidade de que um biscoito venha do pote 1 (50%, porque os potes têm 40 biscoitos cada um);
2. P(b|P1) é a probabilidade de um biscoito de baunilha no pote P1 (75%, ou 30/40);
3. Multiplicando P(P1)P(b|P1) temos a quantidade de biscoitos de baunilha vindos de P1. Temos 80 biscoitos e 30 deles são de baunilha e estão no pote P1. Isto é, 30/80 = 0,5*0,75.
4. Dividindo esse valor por P(b), temos a probabilidade desses 30 biscoitos de baunilha em relação ao total de biscoitos de baunilha (50/80). Então, 30/80 divididos por 50/80 nos dá 0,6.

Então, a probabilidade de que um biscoito de baunilha venha do pote P1 é 60%.
O próximo exemplo é o do teste de câncer:

1. 1% das pessoas têm câncer (99% não têm);
2. 80% dos exames detectam a doença (20% falham);
3. 10% dos exames são falsos positivos (as pessoas não têm a doença, mas o exame dá positivo).

Então, se o exame deu positivo para uma pessoa qualquer, qual a probabilidade de que ela realmente tenha a doença?

Bayes nos dirá que P(D|P)=[P(D)P(P|D)]/P(P), mas eu acho mais divertido pegar 1000 pessoas e metê-las em potes. Teremos o pote P (de positivo) e o pote N (de negativo). Nesses potes teremos as pessoas D (doentes) e as pessoas S (saudáveis, por enquanto).

Se aplicarmos o teste em todo mundo, vamos ter no pote P oito pessoas doentes (o teste identificou 80% dos casos) e 99 falsos positivos (dos 990 saudáveis, 10% foram falsamente classificados como doentes). O pote N terá os dois doentes exonerados pelo exame e os 891 que viverão um pouco mais.

Então, o pote P tem 107 pessoas (8 D e 99 S) e o pote N tem 893 (2 D e 891 S). Para alívio geral, a soma é 1000.

Então, voltando ao problema, se alguém tirar um exame positivo, qual a probabilidade de que esteja realmente doente? No fundo, o que buscamos é saber quantos estão realmente doentes no pote P. Será 8/(99+8), ou ~7,4%. Mas, para apaziguar Bayes, a conta seria:

P(D|P)=[P(D)P(P|D)]/P(P)=[0,01*0,8]/(107/1000)=8/107

Ou seja, um há grupo de 0,8% de pessoas que estão dentro de P e que estão doentes (0,01 * 0,8) e essas 8 pessoas representam 7,4% das pessoas cujo exame saiu positivo.

E depois vem aquele problema das três máquinas que produzem peças com defeitos. Trocando as máquinas por potes, fica bem mais fácil, como já deve ter ficado claro.